椭圆的方程和轨迹
假设有一个椭圆，它的中心在坐标原点，它的一个焦点在(0,1)处，它的长轴和短轴的长度之比是一个常数t。我们要解决两个问题：
我们先来解决第一个问题。根据椭圆的定义，我们知道，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是一个定值，我们记为2a。由于一个焦点在(0,1)处，另一个焦点就在(0,-1)处。所以，如果椭圆上有一个点(x,y)，那么它到两个焦点的距离之和就是：
我们可以对这个方程进行化简，得到：
我们可以看出，这是一个关于x和y的二次方程，它的图形就是一个椭圆。我们还可以进一步求出它的长轴和短轴的长度。由于椭圆的中心在原点，所以它的长轴和短轴都是平行于坐标轴的。我们可以分别令x=0和y=0，得到：
所以，椭圆的长轴的长度是2a，短轴的长度是$2sqrt{a2-1}$。由于题目给出了长轴和短轴的长度之比是t，所以我们可以得到：
代入椭圆的方程，得到：
化简，得到：
这就是椭圆的方程。
接下来，我们来解决第二个问题。我们已经知道，直线经过原点，斜率为t，所以它的方程是：
我们要求出它和椭圆在y轴的正半轴上的交点Q。由于Q点的x坐标为0，所以我们可以将x=0代入椭圆的方程，得到：
由于Q点在y轴的正半轴上，所以我们取正号，得到：
所以，Q点的坐标是(0,$sqrt{frac{t2}{t2-1}-1}$)。
现在，我们要求出P点的坐标。根据题目的条件，我们有：
由于P点和Q点都在同一条直线上，所以它们的距离就是它们的y坐标之差的绝对值，即：
代入上面的比例，得到：
由于P点也在直线y=tx上，所以我们有：
代入上面的比例，得到：
化简，得到：
由于Q点的y坐标是正的，所以我们可以去掉绝对值符号，得到：
代入Q点的y坐标，得到：
化简，得到：
所以，P点的坐标是($sqrt{t2-1}-frac{1}{t}$,$tsqrt{t2-1}-1$)。
最后，我们要求出P点的轨迹方程。我们可以用参数方程的形式表示P点的轨迹，即：
我们可以消去参数t，得到一个关于x和y的方程。我们先将x的方程两边平方，得到：
然后，将y的方程两边加1，得到：
再将y的方程两边平方，得到：
将x的方程两边乘以t